삼각함수 2

삼각함수의 이해 - 2

>> 사인법칙과 코사인법칙 - 삼각형에 대한 삼각함수의 활용

이제 삼각형에 대한 삼각함수의 활용을 간단히 알아보도록 하자. 임의의 삼각형에 대해서 두 개의 각을 알고 한 변의 길이를 알 때 나머지 두 변의 길이를 구하는 문제라든지, 두 변의 길이를 알고 그 끼인각의 크기를 알 때 나머지 한 변의 길이를 구하는 문제 등은 이른바 사인법칙과 코사인법칙이라고 불리는 삼각함수의 활용으로 해결할 수 있다. 그리고 코사인 법칙은 나중에 선형대수를 공부할 때, 벡터의 중요한 연산들 중 하나인 내적(Inner Product)이라는 연산을 정의하고 그 연산 결과를 증명하면서 다시 필요하게 될 것이므로 지금 잘 숙지해 두도록 하자. 그럼 이제 아래에서 사인법칙과 코사인법칙을 유도해 보겠다.

>> 삼각함수 항등식

학창시절 누구나 한번쯤은 삼각함수 항등식을 외우느라 골머리를 앓아본 적이 있을 것이다. 삼각함수 항등식은 여러 가지가 있지만, 본 절에서는 모든 항등식 유도의 기초가 되는 덧셈정리에 대해서 자세히 알아보도록 하겠다. 사실 대부분의 삼각함수 항등식은 덧셈정리로부터 간단히 유도되어 지거나 또는 그 유도에 있어서 덧셈정리의 결과가 유용하게 사용되어 진다는 사실을 본 절의 학습을 통해서 자연스럽게 알게 될 것이다.

그리고 앞으로 진행될 선형대수 강좌와 3D그래픽스 응용에 있어서 지겹도록 사용하게 될 행렬들 중 하나가 바로 회전행렬인데, 이때가 되면 회전행렬을 구성하는 각 요소들은 결국 삼각함수에 대한 덧셈정리의 결과임을 자연스럽게 알게 될 것이다. 좌표축의 회전을 각도들의 덧셈으로 표현할 수 있음을 상기해보면 이는 너무나 당연한 결과이다. 따라서 덧셈정리 정도는 반사적으로 유도할 수 있도록 숙지해 두는 것이 앞으로의 학습에 여러모로 유리할 것이다.

그 외에도 삼각함수가 나오는 식을 간단히 정리한다거나, 미적분으로 넘어가게 되면 치환적분 따위에서 삼각함수 항등식과 빈번하게 마주치게 되는데, 그때가 되어서 삼각함수 항등식에 대해 다시 복습하느라고 시간을 허비하지 않도록 지금 대비를 해두는 것이 공부의 효율성을 높이는 한 가지 방법임을 미리 강조해 두겠다.

우리는 표2를 통해서 거의 대부분의 삼각함수 항등식에 대해서 알아보았다. 숙제로 남긴 여러 예제들을 눈으로만 보고 넘기지 말고, 연필과 연습장을 준비하고 커피한잔의 여유로 한 번씩 풀어보고 넘어가는 것이 앞으로의 학습에 도움이 될 것임을 굳이 다시 한 번 강조해 두겠다. 그리고 직접 한 번씩 풀어보는 과정에서 삼각함수의 덧셈정리를 잘 기억하면 대부분의 항등식이 유도될 수 있음을 유의해 두도록 하자.

사실 삼각함수의 덧셈정리를 가장 쉽게 기억하고 유도할 수 있는 방법은 오일러 방정식을 활용하는 것이다. 복소지수함수와 삼각함수의 관계를 나타낸 이 오일러 방정식은 선형대수나 미적분에서는 물론이고 진동과 파동을 다루는 물리학의 많은 주제들에서 다루어질 중요한 방정식이기에, 이에 대해서는 추후에 다시 언급할 기회가 많이 있을 것이다.

>> 강좌를 마치며

지난 두 번의 강좌를 통해서 삼각함수에 대해서 알아보았지만, 강좌 시간이 생각보다 부족하여 아직 삼각함수에 대한 진도를 다 나가지 못하였다. 따라서 다음 시간에도 계속해서 삼각함수에 대한 복습을 진행하도록 하겠다. 특히 자연계에 존재하는 중요한 현상중 하나인 조화진동계를 설명함에 있어서 삼각함수의 주기성이 중요하게 활용된다는 사실을 삼각함수의 그래프를 통해서 간단히 알아보게 될 것이다.

삼각함수의 주기성에 기인하는 이런 조화진동계에 대한 해석은 진동과 파동에 대한 일반적인 해석으로 확장되어 물리계의 곳곳에서 중요하게 응용됨을 수강생들도 언젠가는 깨닫게 될 것이다. 따라서 이에 대한 더 자세한 내용을 다룰 기회 역시 앞으로 많이 있을 것이다. 아무쪼록 이런 중요한 삼각함수와 아직도 친해지지 못했다고 느끼는 수강생들이 없기를 바라며 다음 강좌를 기약하겠다.

[출처] 삼각함수의 이해 - 2 (2010-09-14 강의노트)|작성자 프로포즈